La correspondencia inversa, comúnmente conocida como función inversa, es una relación matemática que "deshecha" la acción de otra función. Si una función f transforma una entrada x en una salida y, su inversa, denotada como f−1, toma esa misma y y devuelve la x original. Este concepto es fundamental en álgebra y cálculo porque permite despejar variables y resolver ecuaciones complejas al revertir las operaciones aplicadas.

Para que una función tenga una inversa bien definida, debe cumplir con la propiedad de ser inyectiva (o uno a uno), lo que significa que cada valor de salida proviene de un único valor de entrada. Sin esta condición, al intentar revertir el proceso, surgiría la ambigüedad de no saber a qué entrada original corresponde una salida dada. La existencia de la inversa garantiza que el mapeo entre conjuntos sea reversible sin pérdida de información.

Definición y concepto

En matemáticas, la noción de correspondencia inversa describe la relación de simetría que existe entre dos conjuntos a través de una función. No se trata simplemente de "volver atrás", sino de establecer un vínculo estructurado donde cada elemento del conjunto de llegada tiene un único origen en el conjunto de partida. Esta relación solo se sostiene si la función original cumple con condiciones estrictas de unicidad y cobertura.

Condición de biyectividad

Para que una función posea una correspondencia inversa bien definida, debe ser biyectiva. Este término técnico combina dos propiedades fundamentales: la inyectividad y la sobreyectividad. La inyectividad garantiza que dos elementos distintos del dominio no se mapeen al mismo elemento en el codominio. En otras palabras, no hay "choques" en la llegada. La sobreyectividad asegura que cada elemento del codominio es alcanzado por al menos un elemento del dominio. No hay elementos "huérfanos" en el destino.

Si falta cualquiera de estas dos propiedades, la inversa deja de ser una función estricta o requiere restricciones adicionales. Por ejemplo, si una función es inyectiva pero no sobreyectiva, su imagen es un subconjunto del codominio original. En ese caso, la correspondencia inversa solo existe sobre esa imagen específica. La biyectividad es el punto de equilibrio donde la relación se vuelve perfectamente reversible sin perder información ni generar ambigüedades.

Dato curioso: La recta y = x actúa como un espejo geométrico. Si trazas el gráfico de una función biyectiva y su inversa en el mismo plano cartesiano, ambos curvas se superpondrían perfectamente si doblas el papel a lo largo de esa diagonal. Esta simetría visual es una herramienta poderosa para verificar la relación inversa sin calcular cada punto.

Dominio, codominio y la función identidad

La relación entre el dominio y el codominio se invierte en la correspondencia inversa. Si una función f va de un conjunto A a un conjunto B, su correspondencia inversa, denotada como f-1, va de B a A. Esto significa que el dominio de la inversa es exactamente el codominio de la función original, y viceversa. Esta inversión de roles es fundamental para entender cómo se estructuran las relaciones binarias en álgebra.

La propiedad algebraica que define esta relación es la composición. Cuando se compone una función con su inversa, el resultado es la función identidad. Esto significa que aplicar la función y luego su inversa (o al revés) devuelve cada elemento a su posición original. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:

f−1(f(x))=x para todo x∈A

Y también:

f(f−1(y))=y para todo y∈B

Estas ecuaciones muestran que la inversa "deshecha" la acción de la función original. Es un mecanismo de restauración perfecta. Sin esta propiedad de composición, la relación inversa sería solo una coincidencia puntual, no una estructura matemática robusta. La función identidad actúa como el punto fijo de esta operación, confirmando que no se ha perdido ni añadido información durante el proceso de mapeo.

La distinción entre la correspondencia inversa y la función inversa propiamente dicha radica en el nivel de abstracción. La correspondencia inversa puede verse como la relación binaria subyacente, el conjunto de pares ordenados invertidos. La función inversa es la realización funcional de esa relación, siempre que se cumpla la condición de que cada entrada tenga una única salida. En la práctica, cuando trabajamos con funciones biyectivas, ambos términos suelen usarse de manera intercambiable, pero entender la diferencia ayuda a visualizar la estructura subyacente de las relaciones entre conjuntos.

¿Qué condiciones debe cumplir una función para tener inversa?

No todas las funciones matemáticas poseen una inversa. Para que exista una función inversa única y bien definida, la función original debe cumplir con requisitos estrictos de mapeo entre su dominio y su codominio. Si estos requisitos fallan, al intentar "despejar" la variable original, nos encontramos con ambigüedades o valores perdidos. La condición fundamental es la biyección, que combina dos propiedades esenciales: la inyectividad y la sobreyectividad.

Inyectividad: la propiedad de no repetir valores

Una función es inyectiva si cada elemento del codominio es imagen de a lo sumo un elemento del dominio. En términos más simples, dos entradas distintas deben producir dos salidas distintas. Si dos valores diferentes de x dan el mismo resultado en f(x), la función "aplasta" información y, al invertir el proceso, no sabríamos a cuál de los dos valores originales regresar. La consecuencia es directa: sin inyectividad, la inversa sería una relación multivaluada, no una función.

Un ejemplo clásico de función inyectiva es f(x) = 2x. Si tomamos x = 3 obtenemos 6, y si tomamos x = 5 obtenemos 10. Ningún valor de salida se repite. Por el contrario, la función cuadrática g(x) = x² no es inyectiva sobre los números reales completos porque tanto 2 como -2 producen el mismo resultado, 4. Para hallar la inversa de x², a menudo se restringe el dominio a los números positivos para forzar la inyectividad.

Sobreyectividad: cubrir todo el codominio

La sobreyectividad exige que cada elemento del codominio sea imagen de al menos un elemento del dominio. Es decir, no deben quedar "huecos" en los valores de salida esperados. Si una función no es sobreyectiva, existen valores en el codominio que nunca son alcanzados por la función. Al intentar invertir, esos valores tendrían que mapearse hacia algo, pero no tendrían preimagen definida dentro del dominio original.

Dato curioso: La sobreyectividad depende en gran medida de cómo definimos el codominio. La función f(x) = x² no es sobreyectiva si el codominio son todos los números reales (porque nunca da un número negativo), pero sí lo es si restringimos el codominio solo a los números reales no negativos. Cambiar el "escenario" de salida puede cambiar las propiedades de la función.

La biyección: la condición necesaria y suficiente

La biyección es la unión perfecta de ambas propiedades. Una función es biyectiva si es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva. Esto significa que hay una correspondencia uno a uno exacta entre los elementos del dominio y los del codominio. Cada entrada tiene una salida única, y cada salida proviene de una entrada única. Esta es la condición necesaria y suficiente para que exista una función inversa f⁻¹.

Cuando una función f es biyectiva, la composición de la función con su inversa devuelve la función identidad. Matemáticamente, esto se expresa como:

f(f−1(y))=yyf−1(f(x))=x

Este mecanismo garantiza que la información no se pierde ni se duplica durante la transformación. Gráficamente, esta relación se visualiza fácilmente: la gráfica de una función biyectiva y la de su inversa son simétricas respecto a la recta y = x. Si trazas un punto (a, b) en la función original, el punto correspondiente en la inversa será (b, a), reflejando perfectamente la relación entre entradas y salidas.

Historia y evolución del concepto

La noción de invertir una función no apareció de golpe en el siglo XIX. Sus raíces están en la resolución de ecuaciones algebraicas, donde despejar una incógnita equivale, en esencia, a aplicar una operación inversa. Cuando los matemáticos comenzaron a tratar las funciones como objetos propios, no como simples expresiones con variables, la pregunta por la inversa ganó precisión.

En el siglo XVII, cuando la función aún se entendía más como una relación entre cantidades que como un mapeo estructurado, la inversión se manifestaba en la resolución de ecuaciones simples. Si se tenía una relación lineal, despejar la variable dependiente era directo. Pero con funciones más complejas, como las cuadráticas o las trigonométricas, la inversión revelaba matices: una misma imagen podía corresponder a dos o más valores de la variable independiente. Esa ambigüedad era el primer indicio de que no toda función tenía una inversa única.

El papel de Euler en la formalización

Leonhard Euler, en sus trabajos del siglo XVIII, fue uno de los primeros en tratar la función como un objeto matemático con propiedades propias. Aunque no usaba el lenguaje de conjuntos moderno, Euler observaba cómo una función podía revertirse bajo ciertas condiciones. En sus análisis de funciones exponenciales y logarítmicas, notó que la relación entre ambas era simétrica: aplicar una después de la otra devolvía el valor original. Esta observación era, en esencia, la propiedad de la composición con la función identidad.

Euler no definió la inversa como un concepto abstracto, sino como una herramienta práctica. Pero su enfoque sentó las bases para que otros matemáticos vieran la inversa no solo como un truco algebraico, sino como una propiedad estructural de ciertas funciones.

Dato curioso: Euler no usaba el símbolo f(x) de forma sistemática hasta bien entrado el siglo XVIII. Antes, las funciones se escribían como expresiones largas, como ax + bx, y la inversa se obtenía mediante despejes manuales. La notación funcional facilitó la abstracción.

La contribución de Lagrange y la noción de biyección

Joseph-Louis Lagrange, ya en el siglo XIX, avanzó en la comprensión de cuándo una función podía invertirse sin ambigüedades. Aunque el término "biyección" aún no estaba formalizado, Lagrange observaba que para que una función tuviera una inversa única, debía cumplir dos condiciones: que cada valor de la imagen proviniera de un solo valor del dominio (lo que hoy llamamos inyectividad) y que todos los valores del codominio fueran alcanzados (sobreyectividad). Sin estas dos propiedades, la inversa era parcial o multivaluada.

La formalización completa de la función inversa como concepto estructurado llegó con la teoría de conjuntos y el trabajo de matemáticos como Georg Cantor y Richard Dedekind, quienes definieron la función como un mapeo entre conjuntos. Pero las semillas estaban en los trabajos de Euler y Lagrange, quienes vieron la inversa no solo como un resultado, sino como una propiedad inherente a ciertas funciones.

La evolución del concepto refleja un cambio más amplio en las matemáticas: pasar de ver las funciones como expresiones algebraicas a entenderlas como relaciones estructuradas entre conjuntos. Ese cambio permitió definir con precisión cuándo una función tenía inversa y cómo se comportaba bajo composición.

Propiedades fundamentales de la correspondencia inversa

Las propiedades de la correspondencia inversa no son meras definiciones estáticas, sino herramientas activas que revelan la estructura interna de las funciones. Comprender cómo se comporta una función al invertirla permite simplificar cálculos complejos y visualizar relaciones geométricas que de otro modo permanecerían ocultas. Estas características son fundamentales en el análisis matemático y el álgebra.

Simetría gráfica respecto a la recta y = x

La representación visual de una función y su inversa comparte una propiedad geométrica elegante: la simetría axial. Si se traza la gráfica de una función biyectiva f en un plano cartesiano, la gráfica de su inversa f-1 aparece como el reflejo especular de f a través de la recta y = x. Esto ocurre porque la definición de la inversa intercambia los roles de la variable independiente y la dependiente.

Matemáticamente, si un punto a, b pertenece a la gráfica de f, entonces el punto b, a pertenece necesariamente a la gráfica de f-1. La recta y = x actúa como el eje de simetría porque es el lugar geométrico donde las coordenadas x e y son iguales. Esta propiedad es extremadamente útil para graficar funciones inversas sin calcular cada punto individualmente, simplemente "doblando" el plano a lo largo de la diagonal principal.

Composición y la función identidad

La relación más directa entre una función y su inversa se expresa mediante la composición funcional. Cuando se aplica una función y luego su inversa, o viceversa, el resultado es siempre el valor original de entrada. Este comportamiento define a la función identidad, que asigna a cada elemento de su dominio el mismo elemento.

Esta propiedad se formula de manera precisa. Para cualquier x en el dominio de f-1:

f(f−1(x))=x

Y para cualquier y en el dominio de f:

f−1(f(y))=y

Estas ecuaciones demuestran que la composición de f y f-1 anula el efecto de la transformación inicial. Es decir, si f transforma un valor x en y, entonces f-1 transforma y de vuelta a x. Esta propiedad es la base para resolver ecuaciones funcionales y para definir la inversa en contextos más amplios, como las matrices o las sucesiones. La consecuencia es directa: la función inversa "deshecha" el trabajo de la función original.

Relación entre las derivadas

En el cálculo diferencial, la tasa de cambio de una función inversa está íntimamente ligada a la tasa de cambio de la función original. Esta relación no es arbitraria; surge de la aplicación de la regla de la cadena a la composición de funciones. Si una función f es derivable y su derivada no es nula en un punto x, entonces su inversa f-1 es derivable en el punto correspondiente y = f(x).

La fórmula que conecta ambas derivadas establece que la derivada de la función inversa en un punto es el recíproco de la derivada de la función original en el punto correspondiente. Se expresa así:

(f−1)′(y)=f′(x)1​

Donde y = f(x). Esta relación es particularmente útil cuando calcular la derivada de la inversa directamente resulta complicado. Por ejemplo, para encontrar la derivada de la función logarítmica natural, se puede aprovechar la derivada conocida de la función exponencial. La pendiente de la tangente a la gráfica de la inversa es la inversa multiplicativa de la pendiente de la tangente a la gráfica original en el punto simétrico.

Dato curioso: La propiedad de que las derivadas sean recíprocas explica por qué las gráficas de funciones inversas parecen "más planas" o "más empinadas" en puntos simétricos. Si una función tiene una pendiente muy pronunciada, su inversa tendrá una pendiente muy suave en el punto reflejado, y viceversa.

Estas tres propiedades —simetría gráfica, composición identitaria y relación de derivadas— forman el núcleo del estudio de las funciones inversas. Dominarlas permite pasar de la definición abstracta de biyección a una comprensión operativa y visual del comportamiento de las funciones en distintos contextos matemáticos. La precisión en su aplicación evita errores comunes en el análisis de funciones complejas.

¿Cómo se calcula la función inversa paso a paso?

Procedimiento general para hallar la inversa

El cálculo de la función inversa sigue un algoritmo algebraico estructurado que garantiza la precisión del resultado. El proceso consiste en aislar la variable independiente original en términos de la variable dependiente. Este método es aplicable siempre que la función sea biyectiva en su dominio considerado.

  1. Escribe la función en la forma y = f(x).
  2. Intercambia las posiciones de x y y. Esto refleja geométricamente la simetría respecto a la recta y = x.
  3. Despeja y en la nueva ecuación.
  4. Reemplaza y por la notación f-1(x).

Es fundamental verificar que el rango de la función original coincida con el dominio de la inversa. Si la función no es biyectiva en todo su dominio natural, se debe restringir el dominio antes de aplicar el procedimiento. La consecuencia es directa: sin biyección, la inversa no sería una función única.

Ejemplo con una función lineal

Consideremos la función lineal f(x) = 2x + 4. Esta función es biyectiva en los números reales, por lo que su inversa existe y también será lineal.

Primero, escribimos la ecuación como y = 2x + 4. A continuación, intercambiamos las variables para obtener x = 2y + 4. El paso crítico consiste en aislar y. Restamos 4 a ambos lados: x - 4 = 2y. Luego, dividimos por 2: y = (x - 4) / 2.

La función inversa es f-1(x) = (x - 4) / 2. Podemos simplificarla como f-1(x) = 0.5x - 2. Verifiquemos la composición: f(f-1(x)) = 2((x - 4) / 2) + 4 = x - 4 + 4 = x. El resultado es la función identidad, lo que confirma el cálculo.

Ejemplo con una función exponencial

Las funciones exponenciales requieren el uso de logaritmos para aislar la variable en el exponente. Tomemos la función f(x) = ex, definida sobre los números reales. Esta función es estrictamente creciente y por tanto biyectiva hacia su rango (0, +∞).

Comenzamos con y = ex. Intercambiamos las variables: x = ey. Para despejar y, aplicamos el logaritmo natural (ln) a ambos lados de la ecuación. Esto es posible porque el logaritmo natural es la inversa de la exponencial de base e.

La operación da como resultado ln(x) = ln(ey). Por las propiedades de los logaritmos, esto se simplifica a ln(x) = y. Por lo tanto, la función inversa es f-1(x) = ln(x).

Dato curioso: La simetría entre la gráfica de ex y ln(x) es tan perfecta que si superpones sus gráficas en un espejo colocado sobre la recta y = x, una imagen se transforma exactamente en la otra.

Verificación y dominio

Una vez obtenida la expresión algebraica, es esencial determinar el dominio de la función inversa. Este dominio corresponde exactamente al rango de la función original. En el caso de la función lineal, el dominio de la inversa es ℝ. Para la exponencial, el rango de ex es (0, +∞), por lo que el dominio de ln(x) es x > 0.

Olvidar esta restricción es un error común que lleva a soluciones incompletas. La función inversa no existe para valores fuera de ese rango. Por ejemplo, intentar calcular ln(-1) en el conjunto de los números reales no tiene solución, lo que refleja que ex nunca toma valores negativos.

Este procedimiento sistemático permite descomponer cualquier función biyectiva en su par inverso, facilitando el análisis de relaciones funcionales en cálculo y álgebra. La práctica constante con distintos tipos de funciones —polinómicas, racionales y trascendentes— consolida la comprensión de la simetría funcional.

Aplicaciones en ciencias e ingeniería

La utilidad de la correspondencia inversa trasciende el ámbito puramente algebraico. En ciencias e ingeniería, la capacidad de "revertir" un proceso matemático permite pasar de la causa al efecto y viceversa, una operación fundamental para el modelado de sistemas complejos.

Modelado físico y económico

En física, muchas leyes naturales siguen patrones de potencia. Un ejemplo clásico es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo en un movimiento uniformemente acelerado. Si la posición x depende del tiempo t mediante una función cuadrática, hallar la inversa permite calcular cuánto tiempo ha transcurrido para llegar a un punto específico. La operación algebraica implica despejar t, lo que introduce una raíz cuadrada y, a menudo, una elección de signo según el contexto físico.

La economía utiliza estas funciones para analizar el equilibrio de mercado. La función de demanda relaciona el precio con la cantidad consumida. Al invertir esta función, se obtiene la función de precio en función de la cantidad, lo que resulta crucial para calcular el excedente del consumidor y del productor. La claridad conceptual aquí es vital: confundir la función directa con su inversa puede llevar a errores significativos en la proyección de ingresos.

Sabías que: En termodinámica, la relación entre presión y volumen en una expansión isotérmica es una función inversa simple. Comprender esta correspondencia fue esencial para el desarrollo de la primera ley de la termodinámica.

Procesamiento de información

En informática, la biyección es la base de la codificación de datos. Un código eficiente debe ser inyectivo para evitar pérdidas de información y sobreyectivo para aprovechar todo el rango de salida. Por ejemplo, al comprimir archivos, cada secuencia de bits originales debe mapearse a una secuencia única de bits comprimidos. Si la función no es inversible, la descompresión pierde datos. Esta propiedad garantiza que la información original pueda recuperarse sin ambigüedades.

La seguridad de la información también depende de funciones casi inversas. En la criptografía de clave pública, se busca una función fácil de calcular pero difícil de invertir sin una clave específica. Esto contrasta con las funciones biyectivas simples, donde la inversión es directa. La elección de la función adecuada define la robustez del sistema.

Comparación de funciones comunes

La siguiente tabla resume las relaciones directas e inversas más frecuentes en estos campos. Observar la simetría algebraica ayuda a predecir el comportamiento del sistema al revertir la variable independiente.

Área Función directa f(x) Función inversa f-1(y) Condición de validez
Cinemática x = v0t + ½at2 t = (-v0 + √(v02 + 2ax)) / a a ≠ 0
Óptica I = P / (4πr2) r = √(P / (4πI)) I > 0
Electrónica V = I · R I = V / R R ≠ 0
Estadística y = ex x = ln(y) y > 0

La estructura de estas fórmulas revela un patrón consistente: la inversión a menudo implica operaciones opuestas, como pasar de potencias a raíces o de exponenciales a logaritmos. Dominar estas transformaciones permite a los ingenieros y científicos navegar entre diferentes representaciones del mismo fenómeno físico o económico con precisión.

Ejercicios resueltos

La práctica es fundamental para asimilar la mecánica de las funciones inversas. A continuación, se presentan tres ejercicios que ilustran el proceso de hallar la inversa en contextos algebraicos, trascendentes y aplicados. Cada ejemplo demuestra cómo la biyectividad garantiza la existencia de la inversa y cómo se verifica el resultado mediante la composición.

Ejercicio 1: Función lineal y dominio restringido

Consideremos la función f(x)=2x−4 definida sobre los números reales. Esta función es biyectiva porque es estrictamente creciente y cubre todo el rango real. Para hallar su inversa, igualamos la función a y y despejamos x:

y=2x−4⟹y+4=2x⟹x=2y+4​

Intercambiando las variables, obtenemos la función inversa f−1(x)=2x+4​. La verificación es directa: f(f−1(x))=2(2x+4​)−4=x. El proceso es sencillo, pero establece la base algebraica necesaria para casos más complejos.

Ejercicio 2: Función exponencial y logarítmica

Las funciones trascendentes requieren manejo cuidadoso de los dominios. Sea g(x)=e2x+1. Como la exponencial es estrictamente creciente, g es inyectiva. Su rango es (1,+∞), por lo que es sobreyectiva en ese conjunto. Para encontrar la inversa:

y=e2x+1⟹y−1=e2x⟹ln(y−1)=2x⟹x=2ln(y−1)​

La función inversa es g−1(x)=2ln(x−1)​, definida para x > 1">. La aparición del logaritmo natural es característica al invertir funciones exponenciales. Este ejemplo muestra cómo el dominio de la función original se convierte en el rango de la inversa.

Ejercicio 3: Modelado de enfriamiento

En problemas de modelado, la inversa permite responder preguntas prácticas. Supongamos que la temperatura T (en grados Celsius) de un cuerpo en función del tiempo t (en horas) sigue la ley T(t)=20+30e−0.5t. Queremos saber cuánto tiempo tarda en alcanzar 35 °C. Primero, hallamos la función inversa t(T):

T=20+30e−0.5t⟹T−20=30e−0.5t⟹30T−20​=e−0.5t ln(30T−20​)=−0.5t⟹t(T)=−2ln(30T−20​)

Sustituyendo T=35, obtenemos t(35)=−2ln(0.5)≈1.39 horas. La inversa transforma la variable dependiente en independiente, facilitando el cálculo del tiempo necesario. Esta técnica es esencial en ingeniería y ciencias físicas.

Dato curioso: La simetría gráfica entre una función y su inversa respecto a la recta y=x permite visualizar rápidamente el comportamiento de la inversa sin calcularla algebraicamente. Si la función original tiene una asíntota horizontal, su inversa tendrá una asíntota vertical en el mismo valor.

Preguntas frecuentes

¿Toda función tiene una inversa?

No. Solo las funciones inyectivas (uno a uno) tienen inversas. Si una función asigna el mismo valor de salida a dos entradas distintas (como f(x)=x2 para todos los reales), no se puede definir una única inversa sin restringir el dominio.

¿Qué significa el símbolo f−1(x)?

El símbolo f−1(x) representa la función inversa de f. No significa necesariamente 1/f(x) (aunque eso sería f(x)−1), sino la operación que revierte el efecto de aplicar f a x.

¿Cómo se grafica una función inversa?

La gráfica de la función inversa f−1 se obtiene reflejando la gráfica de la función original f sobre la recta y=x. Esto intercambia las coordenadas de cada punto: si (a,b) está en f, entonces (b,a) está en f−1.

¿Cuál es la diferencia entre función inversa y recíproco?

La función inversa (f−1) revierte la operación de la función (ej. si f suma 5, f−1 resta 5). El recíproco o inverso multiplicativo (1/f) es una operación aritmética donde se divide 1 entre el resultado de la función. Son conceptos distintos que a menudo se confunden por la notación.

¿Por qué es importante restringir el dominio?

Restringir el dominio permite hacer inyectiva una función que originalmente no lo era. Por ejemplo, para que f(x)=x2 tenga inversa, se suele limitar el dominio a x≥0, lo que da lugar a la función raíz cuadrada como su inversa.

Resumen

La correspondencia inversa es una herramienta esencial para revertir transformaciones matemáticas, permitiendo resolver ecuaciones y analizar relaciones bidireccionales entre variables. Su existencia depende estrictamente de que la función original sea inyectiva, asegurando que cada salida tenga un único origen.

El cálculo de la inversa implica intercambiar las variables x e y y despejar la nueva y, un proceso que tiene aplicaciones directas en ingeniería, física y economía para modelar fenómenos reversibles o encontrar causas a partir de efectos observados.

Véase también

Referencias

  1. «Correspondencia inversa» en Wikipedia en español
  2. Inverse Correspondence — Wolfram MathWorld
  3. Inverse Correspondence Principle — American Mathematical Society (AMS)
  4. Inverse Correspondence in Algebraic Geometry — arXiv
  5. Inverse Correspondence — SpringerLink (Encyclopedia of Mathematics)