Definición y concepto

Un semigrupo se define formalmente como un sistema algebraico constituido por un conjunto no vacío, denotado generalmente como A, junto con una operación binaria interna, representada como ⊚. Esta estructura se expresa como el par ordenado (A, ⊚). La operación interna está definida en A, lo que significa que para cualquier par de elementos a y b pertenecientes a A, el resultado de la operación a ⊚ b es también un elemento de A. Esta propiedad de clausura asegura que la operación no salga del conjunto original.

Propiedad asociativa

La característica fundamental que distingue a un semigrupo de otras estructuras algebraicas básicas es la propiedad asociativa. Para que (A, ⊚) sea un semigrupo, debe cumplirse que para todo a, b y c en A, se verifique la igualdad (a ⊚ b) ⊚ c = a ⊚ (b ⊚ c). Esta propiedad permite agrupar los operandos de diferentes maneras sin alterar el resultado final de la operación. La asociatividad es esencial para definir potencias en el semigrupo y para simplificar expresiones algebraicas complejas dentro del conjunto.

Relación con otros conceptos algebraicos

Un semigrupo puede entenderse como un magma asociativo. Un magma es simplemente un conjunto equipado con una operación binaria cerrada, sin requerir necesariamente otras propiedades como la asociatividad o la conmutatividad. Por lo tanto, toda estructura que sea un semigrupo es automáticamente un magma, pero con la condición adicional de que su operación sea asociativa. Esta relación jerárquica ayuda a situar al semigrupo dentro del espectro más amplio de las estructuras algebraicas.

Es importante destacar que un grupo es a la vez un semigrupo y un cuasigrupo. Esto significa que toda estructura de grupo cumple con las propiedades de asociatividad propias de los semigrupos, además de poseer elementos neutros e inversos. Sin embargo, no todos los semigrupos son grupos, ya que estos últimos requieren propiedades adicionales que no están presentes en la definición básica de semigrupo.

¿Qué es un semigrupo conmutativo?

Un semigrupo conmutativo, también denominado semigrupo abeliano, es una estructura algebraica específica que surge cuando se añade la propiedad conmutativa a la definición básica de un semigrupo. Para que un sistema algebraico (A, ⊚) sea considerado un semigrupo conmutativo, debe cumplir dos condiciones fundamentales derivadas de la verdad-base proporcionada: primero, debe ser un semigrupo estándar, lo que implica que A es un conjunto no vacío y ⊚ es una operación interna asociativa; segundo, la operación ⊚ debe satisfacer la ley conmutativa para todos los elementos del conjunto.

La propiedad conmutativa en la operación binaria

La propiedad conmutativa establece que el orden en que se aplican dos elementos bajo la operación binaria no afecta al resultado final. En términos formales, para cualesquiera dos elementos a y b pertenecientes al conjunto A, debe cumplirse que a ⊚ b = b ⊚ a. Esta propiedad complementa la asociatividad, que ya es inherente a toda estructura de semigrupo (donde (a ⊚ b) ⊚ c = a ⊚ (b ⊚ c)), pero no la implica automáticamente. Sin la conmutatividad, un semigrupo puede presentar un comportamiento donde el orden de los operandos es crucial, como ocurre en la multiplicación de matrices o en la composición de funciones, que no son necesariamente conmutativas.

La combinación de asociatividad y conmutatividad otorga a los semigrupos abelianos una estructura más rígida y, en muchos contextos matemáticos, más manejable que la de los semigrupos generales. Esta estructura permite, por ejemplo, elevar elementos a potencias enteras de manera consistente, ya que el orden de multiplicación sucesiva del mismo elemento no altera el resultado.

Ejemplo canónico: Los números naturales con la suma

Un ejemplo fundamental y verificable de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales (generalmente denotados como N, incluyendo o excluyendo el cero dependiendo de la convención, pero siempre siendo un conjunto no vacío) bajo la operación de la suma. La suma de números naturales es una operación interna porque la suma de dos números naturales es siempre otro número natural. Además, la suma es asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) para todos los a, b, c en N. Lo más importante para esta clasificación es que la suma es conmutativa: a + b = b + a para todos los a, b en N. Por lo tanto, (N, +) constituye un semigrupo conmutativo.

Es relevante notar que, aunque los números naturales con la suma forman un semigrupo conmutativo, no forman un grupo bajo esta operación (a menos que se considere la existencia de un elemento neutro y, en algunos casos, inversos, dependiendo de si el cero está incluido y si se buscan inversos aditivos). La verdad-base indica que un grupo es a la vez un semigrupo y un cuasigrupo, lo que sitúa a los semigrupos como una estructura más básica. Un semigrupo conmutativo no requiere necesariamente la existencia de un elemento neutro (lo que lo diferenciaría de un monoide conmutativo) ni de elementos inversos (lo que lo diferenciaría de un grupo abeliano). Por lo tanto, el conjunto de los números naturales positivos con la suma es un ejemplo puro de semigrupo conmutativo que no es un grupo, ya que carece de elemento neutro (si el cero no se incluye) y de inversos aditivos.

La distinción entre semigrupo y semigrupo conmutativo es esencial en el álgebra abstracta para clasificar estructuras según la cantidad de axiomas que satisfacen. Mientras que todo semigrupo conmutativo es un semigrupo, no todo semigrupo es conmutativo. Esta jerarquía permite a los matemáticos estudiar propiedades específicas que emergen únicamente cuando la conmutatividad se impone sobre la asociatividad básica.

Ejemplos fundamentales en álgebra

El estudio de los semigrupos se clarifica mediante ejemplos concretos que ilustran cómo la asociatividad y la naturaleza de la operación definen la estructura. Estos casos fundamentales abarcan desde los conjuntos numéricos básicos hasta estructuras más complejas como matrices y conjuntos de potencias, demostrando la versatilidad del concepto en diversas ramas del álgebra.

Ejemplos numéricos y de conjuntos

Los números naturales, denotados como N, forman un semigrupo conmutativo bajo la operación de suma. Esta estructura es un ejemplo clásico donde la propiedad conmutativa se cumple, es decir, para cualquier par de naturales a y b, a + b = b + a. De manera similar, los enteros positivos bajo la multiplicación constituyen un semigrupo conmutativo. Otros ejemplos en los enteros positivos incluyen las operaciones de máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.), ambas asociativas y conmutativas.

En la teoría de conjuntos, el conjunto potencia P(A) de cualquier conjunto A forma un semigrupo bajo la unión (∪) y otro bajo la intersección (∩). Ambas operaciones son asociativas y conmutativas. Específicamente, para cualquier X, Y, Z ∈ P(A), se cumple que (X ∪ Y) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z).

Ejemplos en álgebra lineal y conjuntos específicos

El conjunto de matrices reales de dimensión n × n, denotado como M_n, forma un semigrupo bajo la multiplicación de matrices. Esta operación es asociativa pero, en general, no es conmutativa. Las matrices estocásticas P_n también forman un semigrupo bajo la multiplicación, relevante en cadenas de Markov.

Un ejemplo más específico es el conjunto S = {4k + 1 | k ∈ N} bajo la multiplicación. Este conjunto es cerrado bajo la operación y hereda la asociatividad de los enteros, formando un semigrupo conmutativo.

Ejemplo Operación Propiedad
Números naturales (N) Suma (+) Conmutativo
Enteros positivos Multiplicación (×) Conmutativo
Enteros positivos m.c.d. y m.c.m. Conmutativo
Conjunto potencia P(A) Unión (∪) e Intersección (∩) Conmutativo
Matrices reales M_n Multiplicación No conmutativo (en general)
Matrices estocásticas P_n Multiplicación No conmutativo (en general)
S = {4k + 1 | k ∈ N} Multiplicación Conmutativo

Subsemigrupos y estructura interna

Un subsemigrupo de un semigrupo dado es un subconjunto no vacío del conjunto base que conserva la estructura algebraica bajo la misma operación binaria asociativa. Formalmente, si se considera un semigrupo definido por un conjunto y una operación interna, cualquier subconjunto de dicho conjunto que sea cerrado bajo esa operación constituye un subsemigrupo. Esto implica que la restricción de la operación original al subconjunto mantiene la propiedad asociativa, permitiendo que el subconjunto funcione como una estructura independiente dentro del sistema mayor.

Ejemplos en los números naturales

Dentro de esta estructura, se pueden identificar varios subsemigrupos naturales. El conjunto de los números naturales mismos, bajo la suma, actúa como un subsemigrupo de sí mismo, demostrando la propiedad de inclusión básica. Asimismo, el conjunto de los números naturales pares, denotados como 2N, constituye un subsemigrupo, ya que la suma de dos números pares siempre resulta en otro número par, manteniendo el cierre bajo la operación.

De manera similar, el conjunto de los múltiplos de 4, representado como 4N, forma otro subsemigrupo dentro de los naturales con la suma. La suma de cualquier par de múltiplos de 4 produce nuevamente un múltiplo de 4, asegurando que la estructura se mantenga intacta. Estos ejemplos ilustran cómo las propiedades aritméticas básicas generan estructuras algebraicas anidadas.

Matrices diagonales

En el ámbito de las matrices, se puede considerar el semigrupo formado por las matrices cuadradas de orden 2 bajo la operación aditiva. Dentro de este conjunto, las matrices diagonales de orden 2 forman un subsemigrupo. La suma de dos matrices diagonales resulta en otra matriz diagonal, lo que garantiza el cierre bajo la operación. Este ejemplo muestra cómo las propiedades estructurales de las matrices permiten la identificación de subconjuntos que conservan la asociatividad y la operación definida.

Relación con grupos y cuasigrupos

La relación entre semigrupos, cuasigrupos y grupos constituye un eje fundamental en la teoría de estructuras algebraicas, permitiendo clasificar los sistemas según las propiedades que satisfacen su operación binaria. Para comprender esta interconexión, es necesario definir primero el concepto de cuasigrupo, que representa una estructura más flexible que el semigrupo en cuanto a la asociatividad, pero más restrictiva en cuanto a la resolución de ecuaciones.

Definición de cuasigrupo y lazo

Un cuasigrupo es un par (Q,∗) donde Q es un conjunto no vacío y ∗ es una operación binaria en Q que satisface la propiedad de divisibilidad. Esto significa que para todo par de elementos a,b∈Q, existen soluciones únicas x,y∈Q tales que a∗x=b e y∗a=b. A diferencia de los semigrupos, la operación en un cuasigrupo no necesariamente es asociativa. Esta propiedad garantiza que la tabla de multiplicación del cuasigrupo forma un cuadrado latino, donde cada elemento aparece exactamente una vez en cada fila y cada columna.

Cuando un cuasigrupo posee un elemento neutro o unidad, se denomina lazo (o loop). Es decir, un lazo es un par (L,∗) donde (L,∗) es un cuasigrupo y existe un elemento e∈L tal que para todo a∈L, se cumple que e∗a=a∗e=a. La presencia de la unidad en un lazo introduce una estructura intermedia entre el cuasigrupo general y el grupo, aunque la asociatividad sigue no siendo obligatoria para todos los triples de elementos.

El grupo como intersección de estructuras

La definición clásica de grupo puede descomponerse en la conjunción de propiedades de dos estructuras más básicas. Una proposición fundamental establece que un grupo es a la vez un semigrupo y un cuasigrupo. Esta afirmación se demuestra analizando las propiedades requeridas para cada estructura:

Por lo tanto, toda estructura que sea simultáneamente un semigrupo (asociativa) y un cuasigrupo (divisible) constituye un grupo. Esta perspectiva permite entender el grupo no como una entidad aislada, sino como la fusión de la asociatividad del semigrupo y la resolución única de ecuaciones del cuasigrupo. Además, si el grupo es conmutativo, la estructura subyacente es un semigrupo conmutativo, reforzando la relación jerárquica entre estas definiciones algebraicas básicas.

¿Cómo se verifica la propiedad asociativa?

La propiedad asociativa constituye el pilar fundamental que distingue a un semigrupo de otras estructuras algebraicas más generales, como los magmas. Verificar esta propiedad implica demostrar que el orden en el que se agrupan los operandos no altera el resultado final de la operación binaria. Para cualquier conjunto A y una operación interna ⊚, la condición necesaria y suficiente es que para todo par de elementos a, b y c pertenecientes a A, se cumpla la igualdad (a ⊚ b) ⊚ c = a ⊚ (b ⊚ c). Esta verificación es esencial para confirmar que el sistema algebraico (A, ⊚) satisface la definición estricta de semigrupo.

Verificación en los números naturales con la suma

Consideremos el ejemplo clásico de los números naturales, denotados como N, bajo la operación de la suma (+). Este conjunto forma un semigrupo conmutativo, lo que implica que además de ser asociativo, cumple la propiedad conmutativa. Para verificar la asociatividad, tomamos tres números naturales arbitrarios n, m y k. La expresión (n + m) + k representa la suma de n y m, a cuyo resultado se le suma k. En aritmética elemental, se demuestra que ambos procesos conducen al mismo valor numérico, confirmando que (N, +) es efectivamente un semigrupo.

Extensión a subconjuntos: 2N y 4N

La propiedad asociativa se hereda naturalmente en los subsemigrupos. Tomemos el conjunto de los números naturales pares, 2N, que es un subconjunto de N. Dado que la suma de dos números pares es siempre un número par, la operación está bien definida en 2N. Al aplicar la misma lógica que en N, para cualquier a, b, c en 2N, la igualdad (a + b) + c = a + (b + c) se mantiene, ya que estos elementos son también números naturales.

De manera análoga, consideremos el conjunto 4N, formado por los múltiplos de cuatro. Este conjunto también es cerrado bajo la suma, ya que la suma de dos múltiplos de cuatro resulta en otro múltiplo de cuatro. La verificación de la asociatividad sigue el mismo patrón: al seleccionar tres elementos de 4N, la agrupación de las sumas no afecta el resultado final. Esto confirma que (4N, +) es un semigrupo, demostrando cómo la estructura algebraica se preserva en subconjuntos cerrados bajo la operación binaria asociativa.

Ejercicios resueltos

Verificación de la estructura de los números naturales

Se analiza el sistema formado por el conjunto de los números naturales, denotado como N, junto con la operación de suma. Para confirmar que este sistema constituye un semigrupo conmutativo, se deben verificar las propiedades fundamentales de la operación.

Primero, se comprueba la asociatividad. Para cualesquiera elementos a,b,c pertenecientes a N, se cumple que:

Esta igualdad confirma que la operación es asociativa. Segundo, se verifica la conmutatividad.

a+b=b+a

Dado que la suma es tanto asociativa como conmutativa, y el conjunto es no vacío, se concluye que los números naturales con la suma forman un semigrupo conmutativo.

Análisis de subsemigrupos en los pares y múltiplos de cuatro

Se examinan los conjuntos 2N (los números pares) y 4N (los múltiplos de cuatro) como subconjuntos de los naturales. Para que un subconjunto sea un subsemigrupo, debe estar cerrado bajo la operación y heredar la asociatividad.

Para 2N, tomemos dos elementos arbitrarios 2k y 2m. Su suma es 2k+2m=2(k+m), que claramente pertenece a 2N. Por lo tanto, está cerrado.

De manera análoga, para 4N, la suma de 4k y 4m resulta en 4(k+m), que es un múltiplo de cuatro. Ambos conjuntos son, por tanto, subsemigrupos de los números naturales.

El conjunto potencia como semigrupo con unidad

Se considera el conjunto potencia de un conjunto A, denotado como P(A), equipado con la operación de unión de conjuntos. La unión es una operación interna asociativa, lo que hace que el conjunto potencia sea un semigrupo.

Además, existe un elemento unidad para esta operación. El conjunto vacío, {}, actúa como elemento neutro porque para cualquier subconjunto S de A, se cumple que:

Esto confirma que el conjunto potencia con la operación de unión es un semigrupo con unidad, cumpliendo así con las propiedades estructurales requeridas.

Véase también

Referencias

  1. «Semigrupo» en Wikipedia en español
  2. Semigroup — Wolfram MathWorld
  3. Semigroups — Encyclopedia of Mathematics (EMS)
  4. Semigroup Theory — American Mathematical Society (AMS)
  5. Semigroups — arXiv preprint archive