Definición de probabilidad teórica o clásica

La probabilidad teórica, también conocida como probabilidad clásica, es un modelo matemático que asigna un valor numérico a la posibilidad de que ocurra un evento dentro de un conjunto finito de resultados posibles. Este enfoque se basa en el principio de equiprobabilidad, lo que significa que, en ausencia de información adicional, cada resultado tiene la misma chance de suceder que cualquier otro.

Este concepto es fundamental en la teoría del azar porque permite calcular la incertidumbre sin necesidad de realizar experimentos repetidos. Se utiliza ampliamente en estadística básica, juegos de azar y análisis de riesgos simples, ofreciendo una primera aproximación cuantitativa a la naturaleza aleatoria de los fenómenos.

Definición y concepto

La probabilidad clásica, también conocida como definición de Laplace, es el primer intento formal de cuantificar la incertidumbre mediante un enfoque lógico más que puramente empírico. Este modelo surge cuando se asume que todos los resultados posibles de un experimento aleatorio son igualmente probables. No se basa en contar frecuencias pasadas, sino en analizar la estructura simétrica del fenómeno antes de que ocurra. Es la base intuitiva de la teoría de conjuntos aplicada al azar.

Para aplicar este concepto, es necesario definir dos elementos fundamentales: el espacio muestral y los sucesos favorables. El espacio muestral, denotado habitualmente como S o E, es el conjunto finito de todos los resultados posibles de un experimento. Cada resultado individual se llama suceso elemental. Por ejemplo, al lanzar un dado estándar, el espacio muestral contiene seis elementos: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si el dado está perfectamente equilibrado, asumimos que cada cara tiene la misma oportunidad de caer.

Un suceso A es cualquier subconjunto del espacio muestral. Los sucesos favorables son aquellos elementos del espacio muestral que cumplen con la condición específica que nos interesa medir. Si queremos saber la probabilidad de sacar un número par, los sucesos favorables son {2, 4, 6}. La definición clásica establece que la probabilidad de un suceso es la relación entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles.

Dato curioso: Aunque Pierre-Simon Laplace formalizó esta definición en su obra Théorie analytique des probabilités (1812), la idea de la "igualdad de los casos" ya era utilizada por Pascal y Fermat en el siglo XVII para resolver problemas de juegos de azar.

Fórmula y cálculo

La expresión matemática de la probabilidad clásica es directa. Si N representa el número total de resultados posibles (el tamaño del espacio muestral) y n representa el número de resultados favorables al suceso A, la probabilidad P(A) se calcula como:

Esta fórmula implica que la probabilidad siempre es un número real comprendido entre 0 y 1. Si ningún caso es favorable (n = 0), la probabilidad es 0 (suceso imposible). Si todos los casos son favorables (n = N), la probabilidad es 1 (suceso seguro). Es crucial recordar que esta división solo tiene sentido si el espacio muestral es finito. Si los resultados posibles fueran infinitos, la relación simple n/N requeriría límites más complejos, acercándose a la probabilidad geométrica.

El papel de la simetría

Lo que distingue a la definición clásica de otras, como la frecuencial, es su dependencia de la simetría. No se trata solo de contar, sino de justificar por qué los casos son "iguales". En un dado real, la simetría física sugiere que ninguna cara pesa más que otra. En una baraja bien mezclada, la simetría proviene del proceso de mezcla que iguala las oportunidades de cada carta.

Sin embargo, este modelo tiene una limitación importante: la circularidad. Para decir que los casos son igualmente probables, a menudo necesitamos saber que su probabilidad es la misma. Por ejemplo, decimos que el sol saldrá con probabilidad 1/2 si asumimos que solo hay dos opciones (salir o no salir) y que son simétricas. Pero en la práctica, la salida del sol parece más segura que su ausencia. Por ello, la definición clásica funciona mejor en juegos de azar y experimentos controlados donde la simetría es evidente, no en fenómenos complejos donde la igualdad de oportunidades es difícil de justificar sin datos previos.

¿Cuáles son los supuestos fundamentales de la probabilidad clásica?

La probabilidad clásica, también conocida como definición laplaciana, no surge de la nada. Requiere que el mundo del experimento se comporte de manera ordenada y predecible antes de lanzar la moneda o tirar el dado. Si estos cimientos temblaban, el resultado numérico pierde su significado lógico. Dos supuestos fundamentales sostienen esta definición: la finitud del espacio muestral y la equiprobabilidad de sus resultados.

La necesidad de un espacio muestral finito

El primer pilar exige que el número total de resultados posibles sea contable y finito. No puede haber infinitas opciones. Si lanzamos un dado estándar, sabemos con certeza que existen exactamente seis caras posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Este conjunto cerrado se denomina espacio muestral, representado usualmente por la letra mayúscula S o E. La finitud permite aplicar la aritmética básica para calcular la proporción de casos favorables sobre casos posibles.

Si el espacio fuera infinito, la división simple se volvería compleja o incluso indeterminada sin herramientas más avanzadas, como la probabilidad geométrica. Por ejemplo, elegir un punto al azar en un segmento de recta implica infinitos puntos posibles. La probabilidad clásica brilla cuando los resultados son discretos y limitados, como las cartas de una baraja española (40 cartas) o las caras de un dado de seis lados.

El principio de equiprobabilidad

El segundo supuesto es el más crítico y, a menudo, el más intuitivo: la equiprobabilidad. Este principio establece que, en ausencia de información contraria, cada resultado elemental tiene la misma "chance" o posibilidad de ocurrir. No hay favoritos. En un dado justo, la cara con un punto tiene exactamente la misma oportunidad de caer que la cara con seis puntos.

Esta igualdad no siempre es obvia. A menudo se justifica mediante la simetría física o lógica. Un dado cúbico bien tallado tiene simetría geométrica: si giras el dado, su forma parece idéntica desde múltiples ángulos. Una moneda equilibrada tiene dos caras simétricas. Esta simetría sugiere que la naturaleza no tiene razón para favorecer una cara sobre otra, lo que lleva a asignarles la misma probabilidad.

Cuando estos dos supuestos se cumplen, la fórmula de la probabilidad clásica se aplica directamente. La probabilidad de un evento A se calcula dividiendo el número de casos favorables por el número total de casos posibles:

Donde n(A) es el número de resultados que componen el evento A, y n(S) es el tamaño total del espacio muestral. Si queremos saber la probabilidad de sacar un número par con un dado, los casos favorables son {2, 4, 6}, es decir, 3 casos. El total es 6. La probabilidad es 3/6, o 0.5.

¿Qué ocurre cuando falla la equiprobabilidad?

La fragilidad de la probabilidad clásica se revela cuando la supuesta igualdad se rompe. La equiprobabilidad no es una ley física inmutable, sino una aproximación basada en la simetría. Si esa simetría se distorsiona, el modelo clásico sigue funcionando matemáticamente, pero pierde su precisión predictiva si no se ajusta.

Considera una moneda pesada. Imagina que el lado de "Cara" tiene un pequeño peso añadido en su borde inferior. Al lanzarla, la gravedad tirará más fuerte hacia ese lado. La simetría física se ha roto. Ahora, "Cara" tiene más probabilidad de caer que "Cruz". Si seguimos usando la probabilidad clásica sin ajustar, diríamos que hay un 50% de probabilidad para cada lado. Pero en la práctica, podría haber un 70% para "Cara" y un 30% para "Cruz".

Dato curioso: El matemático Pierre-Simon Laplace, quien formalizó esta definición en su obra Essai philosophique sur les probabilités (1812), admitía que la equiprobabilidad a menudo se basaba en la "razón suficiente". Es decir, si no hay razón para creer que un resultado es más probable que otro, asumimos que lo son. Es un argumento lógico, no siempre físico.

En estos casos de asimetría, la probabilidad clásica pura se vuelve insuficiente. Necesitamos recurrir a la probabilidad frecuentista (lanzar la moneda mil veces y contar) o a la probabilidad subjetiva (basada en la experiencia). La probabilidad clásica es excelente para juegos de azar bien diseñados, donde los fabricantes aseguran la simetría. Pero en el mundo real, donde las monedas se gastan, los dados se rompen y las cartas se barajan imperfectamente, la equiprobabilidad es a menudo una idealización útil, pero no siempre una verdad absoluta. Reconocer cuándo falla este supuesto es tan importante como saber aplicar la fórmula.

Historia y contexto: de Pascal a Laplace

El origen de la probabilidad clásica no se encuentra en los campos de trigo, sino en las mesas de juego. A mediados del siglo XVII, la necesidad de repartir las ganancias en una partida interrumpida impulsó a dos gigantes de la ciencia a intercambiar cartas que cambiarían para siempre la forma de cuantificar la incertidumbre.

En 1654, el matemático francés Blaise Pascal y su contemporáneo Pierre de Fermat iniciaron una célebre correspondencia sobre lo que se conoce como el "problema de la partición de las ganancias". La cuestión era práctica: si dos jugadores de igual habilidad deben jugar a ganar tres rondas, pero la partida se interrumpe cuando uno lleva dos victorias y el otro una, ¿cómo deben dividirse el bote? La intuición sugería dividir por dos, pero la lógica exigía analizar los resultados potenciales futuros. Esta discusión sentó las bases de lo que hoy llamamos el espacio muestral, identificando los resultados posibles como elementos de un conjunto finito.

Debate actual: Aunque se considera el nacimiento de la teoría, la solución de Pascal y Fermat dependía de la suposición de que todos los resultados eran igualmente probables, una definición que resultaba circular hasta que Laplace la estructuró mejor.

La formalización definitiva llegó casi un siglo y medio después, con Pierre-Simon Laplace. En su obra "Essai philosophique sur les probabilités", publicada en 1814, Laplace consolidó la definición clásica. Él estableció que la probabilidad de un evento es la relación entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que estos últimos sean igualmente posibles. Esta definición, a menudo llamada "probabilidad a priori", transformó la intuición geométrica en una herramienta analítica potente.

La fórmula que Laplace popularizó es directa y sigue siendo la base de la enseñanza introductoria:

Donde n(A) representa el número de casos favorables al evento A y n(S) es el número total de casos en el espacio muestral S. Esta ecuación asume que cada resultado tiene el mismo peso. Si lanzamos un dado justo, hay seis caras; si nos interesa obtener un cuatro, hay un caso favorable. La probabilidad es, por tanto, uno entre seis.

La evolución desde esta visión clásica hacia la teoría de conjuntos y los axiomas de Kolmogorov en el siglo XX fue necesaria para resolver las limitaciones de la "igualdad de posibilidades". Sin embargo, la definición de Laplace sigue siendo fundamental para entender conceptos básicos como la independencia de eventos y la combinatoria básica. La claridad con la que Laplace vinculó la matemática con la filosofía de la incertidumbre permitió que la probabilidad dejara de ser solo una herramienta del juego para convertirse en un pilar de la estadística y la física.

¿Cómo se calcula la probabilidad clásica paso a paso?

Calcular la probabilidad clásica no requiere herramientas complejas, sino un orden lógico estricto. Este enfoque, también conocido como probabilidad de Laplace, asume que todos los resultados posibles son igualmente probables. La clave está en no saltarse ningún paso para evitar errores de conteo.

Definir el experimento y el espacio muestral

El primer paso es delimitar qué está ocurriendo. Un experimento aleatorio es cualquier acción donde el resultado no está asegurado de antemano, como lanzar una moneda o extraer una carta. Una vez definido, debes identificar el Espacio Muestral, representado por la letra griega Omega (Ω). Este conjunto incluye todos los resultados posibles y mutuamente excluyentes.

Por ejemplo, si lanzas un dado estándar de seis caras, el espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si sacas una carta de una baraja española tradicional, el espacio muestral contiene 40 cartas. Definir bien este conjunto evita que se escapen resultados ocultos.

Contar casos favorables y posibles

Una vez tienes el espacio muestral, debes cuantificar los elementos. El número de casos posibles, denotado como N, es simplemente la cantidad total de elementos en Ω. En el dado, N = 6. En la baraja española, N = 40.

El siguiente paso es identificar los casos favorables, llamados n. Estos son los resultados específicos que cumplen la condición que te interesa. Si buscas sacar un número par con el dado, los casos favorables son {2, 4, 6}, por lo que n = 3. Si buscas un As en la baraja española, hay cuatro Ases, así que n = 4. La precisión aquí es crítica: un error de conteo arruina todo el cálculo.

Dato curioso: La fórmula clásica fue formalizada por Pierre-Simon Laplace en su obra de 1814, aunque Isaac Newton ya usaba conceptos similares en la teoría de la luz. La simplicidad engaña: funciona perfectamente cuando los resultados son "iguales", pero falla si el dado está cargado.

Aplicar la fórmula final

Con n y N en mano, aplicas la relación directa. La probabilidad P(A) de que ocurra el suceso A es la división entre casos favorables y casos posibles:

Volviendo al ejemplo del dado par: P(par) = 3 / 6 = 0.5. Esto significa que hay un 50% de probabilidad. Para el As en la baraja española: P(As) = 4 / 40 = 0.1, o un 10%. El resultado siempre será un número entre 0 y 1. Si sale mayor que 1, has contado mal los casos posibles. Si sale menor que 0, revisa tus signos. La consecuencia es directa: la precisión del conteo determina la precisión del resultado.

Este método es la base de la estadística elemental. Dominarlo permite abordar problemas más complejos donde los espacios muestrales crecen exponencialmente, como en los dados múltiples o las cartas sin reemplazo. Pero el principio sigue siendo el mismo: contar con cuidado y dividir con precisión.

¿Qué diferencia la probabilidad clásica de la frecuencia relativa?

La distinción fundamental entre la probabilidad clásica y la frecuencia relativa radica en el momento en que se determina el valor y la fuente de la información. La probabilidad clásica es a priori, lo que significa que se calcula antes de realizar el experimento, basándose en la lógica y la simetría de los resultados posibles. Por el contrario, la frecuencia relativa es a posteriori; se deriva de los datos empíricos obtenidos tras repetir el experimento múltiples veces.

Este enfoque empírico define la probabilidad como el límite de la proporción de veces que ocurre un evento cuando el número de ensayos tiende al infinito. Matemáticamente, si un evento A ocurre n veces en N ensayos, la probabilidad se aproxima mediante la siguiente expresión:

Esta fórmula muestra que la estabilidad de la frecuencia requiere una cantidad masiva de datos. No se puede aplicar a eventos únicos sin una historia previa de repeticiones. La consecuencia es directa: no todos los problemas probabilísticos pueden resolverse con uno u otro método.

Comparación de enfoques

Para entender las limitaciones de cada modelo, es útil contrastar sus características estructurales. La probabilidad clásica depende de la suposición de que todos los resultados son "igualmente probables", lo cual es una fuerte hipótesis de simetría. La frecuencia relativa, sin embargo, depende de la estabilidad estadística a largo plazo.

La elección del método no es arbitraria. Si analizamos el lanzamiento de un dado perfecto, la simetría geométrica hace que la probabilidad clásica sea la más eficiente: sabemos que hay seis caras, así que la probabilidad de sacar un seis es 1/6. No necesitamos lanzar el dado mil veces para saber esto.

Debate actual: Los estadísticos discuten si la "igualdad de probabilidad" en el método clásico es una definición circular. Para decir que las caras son iguales, a menudo asumimos que la probabilidad es la misma, lo que requiere una justificación física (simetría) que no siempre es evidente.

Sin embargo, si estudiamos la probabilidad de que un paciente sobreviva a una cirugía específica, la simetría lógica es débil. No hay una razón lógica obvia para asignar un número sin datos. Aquí, la frecuencia relativa es indispensable. Se recopilan los registros de miles de cirugías anteriores. Si 900 de cada 1000 pacientes sobrevivieron, estimamos la probabilidad en 0.9.

Pero hay un matiz importante. La frecuencia relativa nunca es definitiva mientras el experimento continúe. Un cambio en las condiciones (nueva técnica quirúrgica) puede alterar la frecuencia futura. La probabilidad clásica, al depender de la definición del espacio muestral, es más estática pero menos adaptable a la realidad cambiante. Ambos enfoques son complementarios: la clásica proporciona el marco lógico inicial, y la frecuencia valida o ajusta ese marco con la evidencia real.

Aplicaciones prácticas y limitaciones del modelo clásico

El modelo clásico de probabilidad no es una herramienta universal, sino una aproximación específica que funciona con precisión quirúrgica cuando se cumplen condiciones muy estrictas. Su mayor fortaleza radica en la simetría perfecta. En los juegos de azar tradicionales, esta simetría es casi tangible. Un dado de seis caras bien fabricado, una baraja de 52 cartas bien mezclada o la rueda de una ruleta equilibrada ofrecen escenarios donde cada resultado posible tiene, por definición, la misma oportunidad de ocurrir. En estos contextos, calcular la probabilidad es un ejercicio de conteo sencillo y elegante.

Cuando la simetría es real

La ingeniería de calidad aprovecha esta lógica cuando la producción es estandarizada. Si una fábrica produce tornillos idénticos y sabe que, en promedio, uno de cada cien presenta una pequeña imperfección, puede asignar una probabilidad clásica a la calidad de la siguiente pieza. Aquí, la repetición infinita y la uniformidad del proceso justifican el modelo. La consecuencia es directa: el riesgo se cuantifica con claridad. Sin embargo, este éxito depende de que las piezas sean verdaderamente intercambiables. Si el proceso varía, la base del cálculo se agrieta.

Dato curioso: El concepto de "espacio muestral" finito fue crucial para que Pascal y Fermat resolvieran el famoso "Problema de los puntos" en el siglo XVII, sentando las bases del cálculo de probabilidades moderno mediante el conteo de resultados igualmente probables.

El colapso de la simetría

El modelo clásico pierde su poder predictivo cuando la simetría deja de ser evidente o justifiable. Preguntarse por la probabilidad de que llueva mañana no es como lanzar una moneda. No existen "dos caras" igualmente probables en la atmósfera sin un análisis meteorológico profundo. Del mismo modo, predecir el éxito de un nuevo producto en el mercado implica factores humanos, económicos y de competencia que rara vez son simétricos. Afirmar que hay un 50% de posibilidades de éxito porque "o triunfa o fracasa" es una falacia común conocida como la falacia del tercio. La realidad es más matizada que un simple lanzamiento de moneda.

En estos eventos complejos, la suposición de "igualdad de oportunidades" se convierte en una hipótesis arbitraria más que en un hecho medible. La subjetividad entra en juego. Lo que para un experto parece un resultado probable, para un principiante puede parecer una excepción. El modelo clásico no tiene mecanismos internos para cuantificar esta incertidumbre subjetiva sin caer en circularidad lógica.

Hacia una definición más robusta

Para superar estas limitaciones, los matemáticos necesitaban una estructura que no dependiera exclusivamente de la intuición de la simetría. Esto llevó al desarrollo de la definición axiomática de Kolmogorov en 1931. Este enfoque no pregunta "cuántos resultados hay", sino que establece reglas fundamentales que cualquier medida de probabilidad debe cumplir, independientemente de la fuente de la incertidumbre. Esta transición permitió integrar la probabilidad clásica, la frecuencia empírica y la probabilidad subjetiva bajo un mismo marco lógico riguroso, dando lugar a la teoría de la medida aplicada a la probabilidad moderna.

Ejercicios resueltos

La aplicación directa de la definición clásica requiere identificar con precisión el espacio muestral y los casos favorables. A continuación se presentan tres ejercicios de dificultad progresiva que ilustran este proceso. Estos ejemplos demuestran cómo pasar de la intuición a la fórmula matemática.

Lanzamiento combinado de moneda y dado

Se lanza una moneda equilibrada y un dado de seis caras al mismo tiempo. Se desea calcular la probabilidad de obtener "Cara" en la moneda y un número par en el dado. El primer paso es definir el espacio muestral. Como los eventos son independientes, multiplicamos las posibilidades de cada uno. La moneda tiene 2 resultados posibles y el dado tiene 6. Por lo tanto, el número total de casos posibles es:

Los casos favorables son aquellos donde la moneda muestra cara y el dado muestra 2, 4 o 6. Esto nos da tres combinaciones específicas: (Cara, 2), (Cara, 4) y (Cara, 6). Así, hay 3 casos favorables. La probabilidad clásica se calcula dividiendo los casos favorables entre los posibles:

La probabilidad es del 25%. Este caso es sencillo porque los resultados son fácilmente enumerables.

Baraja española: Unión de eventos

Se extrae una carta al azar de una baraja española completa de 48 cartas (12 figuras por 4 palos). Queremos hallar la probabilidad de que la carta sea un As o pertenezca al palo de Oros. Aquí debemos tener cuidado con las repeticiones. Hay 4 Ases en total (uno por cada palo). También hay 12 cartas de Oros. Si simplemente sumamos 4 + 12, obtenemos 14. Sin embargo, una carta es contada dos veces: el As de Oros. Para corregir esto, restamos esa intersección. El número de casos favorables es:

El espacio muestral tiene 48 cartas. La probabilidad resultante es:

Esto equivale aproximadamente a un 31,25%. Restar la intersección evita contar el mismo resultado dos veces.

La paradoja de los cumpleaños

Este problema clásico muestra cómo la intuición a menudo falla frente a los datos. Se pregunta: ¿cuántas personas deben haber en una habitación para que la probabilidad de que al menos dos compartan cumpleaños supere el 50%? En lugar de calcular directamente las coincidencias, es más fácil calcular el evento contrario: que todos tengan cumpleaños distintos, y restar ese resultado a 1. Supongamos que hay 23 personas y 365 días en el año (ignorando años bisiestos). La primera persona puede tener cualquier cumpleaños (365 opciones). La segunda debe tener uno diferente (364 opciones), la tercera 363, y así sucesivamente.

Dato curioso: Muchos estudiantes intuyen que se necesitan cerca de 183 personas (la mitad de 365) para alcanzar el 50% de probabilidad. La respuesta correcta es solo 23. Esto se debe a que el número de pares de personas crece cuadráticamente.

La probabilidad de que todos tengan cumpleaños distintos es:

Al multiplicar estas fracciones, obtenemos aproximadamente 0,4927. Por lo tanto, la probabilidad de que al menos dos personas compartan cumpleaños es:

Con solo 23 personas, superamos el 50,7% de probabilidad. Este ejercicio destaca la importancia de usar el complemento cuando el evento directo es complejo. La consecuencia es directa: los eventos se acumulan rápidamente en grupos pequeños.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo se utiliza la probabilidad clásica?

Se utiliza cuando el espacio muestral es finito y se puede asumir que todos los resultados son igualmente probables, como al lanzar un dado equilibrado o extraer una carta de una baraja estándar.

¿Cuál es la fórmula básica de la probabilidad clásica?

La fórmula es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles. Matemáticamente se expresa como P(A) = n(A) / n(S), donde n(A) es la cantidad de resultados deseables y n(S) es el total de resultados posibles.

¿Qué significa que los resultados sean "equiprobables"?

Significa que no hay razón para creer que un resultado sea más frecuente que otro antes de realizar el experimento. Por ejemplo, en una moneda justa, la cara y el sello tienen exactamente la misma posibilidad de salir.

¿Es lo mismo probabilidad clásica que frecuencia relativa?

No. La probabilidad clásica es deductiva (se calcula antes del experimento basándose en la lógica del conjunto), mientras que la frecuencia relativa es inductiva (se calcula después de repetir el experimento muchas veces para ver qué tan a menudo ocurre el evento).

¿Qué pasa si los resultados no son igualmente probables?

Si la suposición de equiprobabilidad falla (por ejemplo, un dado cargado), el modelo clásico pierde precisión y es necesario utilizar otros enfoques, como la probabilidad frecuentista o la probabilidad subjetiva.

Resumen

La probabilidad clásica define la posibilidad de un evento como la relación entre los casos favorables y el total de casos posibles, asumiendo que todos son igualmente probables. Este modelo, desarrollado históricamente por figuras como Pascal y Laplace, es esencial para entender la base lógica del azar en sistemas finitos y equilibrados.

Aunque es una herramienta poderosa para situaciones ideales como los juegos de mesa, su principal limitación radica en la suposición de equiprobabilidad, que no siempre se cumple en fenómenos complejos o experimentos reales donde intervienen múltiples variables externas.

Véase también

• Qué son los logaritmos en matemáticas
• Resta de vectores
• Cálculo y análisis matemático
• Cómo funcionan los logaritmos
• Eliminación de Gauss-Jordan
• Lema de Schwarz
• Ángulos suplementarios
• Geometría diferencial

Referencias

1. «definición de probabilidad teórica o clásica» en Wikipedia en español
2. Probability - Wolfram MathWorld
3. Probability Theory - Stanford Encyclopedia of Philosophy
4. Probability - Internet Encyclopedia of Philosophy
5. Probability and Statistics - American Mathematical Society